Fourier 半空间上分布的一般非线性演化方程的整体适定性

本文研究了非常一般的演化方程组的 Cauchy 问题，其中解的时间导数由空间中的 Fourier 乘子与解析非线性项表示，没有其他结构要求。我们构造了一个嵌入到分布空间中的 Fourier 变换函数空间，并建立了无大小限制的整体适定性。对初始数据的主要限制是其 Fourier 变换支撑在半空间上，且在边界处依测度意义衰减。我们还要求在分布意义下正交方向具有一致可积性，但无其他条件。特别地，初始数据可能比缓分布粗糙得多，并且可能在空间无穷远处呈多项式增长。对于在频率上局部可积的解，我们还给出了一个更简单的论证。当 Fourier 支撑被稍微限制到一个锥形区域时，方程的普遍性极其广泛，甚至包括在标准函数空间中局部不适定的方程（如反向热方程），以及具有无穷阶导数且超出解析非线性项自然边界的方程。作为更经典的例子，我们的结果可应用于不可压与可压 Navier-Stokes 方程和 Euler 方程、非线性扩散方程与波动方程等。Fourier 支撑限制的主要缺点是解不能取实数值。