二阶完全非线性发展包含的适定性

本文研究了在实可分 Hilbert 空间 $\mathscr{H}$ 中，二阶双非线性发展包含方程的抽象 Cauchy 问题 \begin{align*} \begin{cases} u''(t)+\partial \Psi(u'(t))+B(t,u(t))\ni f(t), &\quad t\in (0,T),\, T>0,\\ u(0)=u_0, \quad u'(0)=v_0 \end{cases} \end{align*} 的适定性，其中 $u_0\in \mathscr{H}, v_0\in \overline{D(\partial \Psi)}\cap D(\Psi), f\in L^2(0,T;\mathscr{H})$。假设泛函 $\Psi: \mathscr{H} \rightarrow (-\infty,+\infty]$ 是固有的、下半连续且凸的，非线性算子 $B:[0,T]\times \mathscr{H}\rightarrow \mathscr{H}$ 满足（局部）Lipschitz 条件。通过应用非线性半群理论和 Banach 不动点定理，证明了强解 $u\in H^2(0,T^*;\mathscr{H})$ 的存在性与唯一性，以及解对数据的连续依赖性。如果 $B$ 满足局部 Lipschitz 条件，则可获得局部强解的存在性。