线性标量输运方程积分不变模型的适定性与正则性

本文研究了由输运方程及其伴随方程耦合导出的积分不变模型。尽管对该模型的数值实现已有广泛研究，但尚未有研究探讨该模型本身的适定性与正则性。为填补这一空白，首先将积分不变模型表述为Cauchy初值问题，给出了其全面的数学定义。该表述保留了源自相关数值算法的基本背景信息。在上述定义中，我们通过显式构造直接演化含时测试函数 $\psi(\mathbf{x},t)$，而非求解伴随方程，这使得测试函数 $\Psi(\mathbf{x})$ 的所需正则性可从 $C^1(\Omega)$ 降至 $L^2(\Omega)$，有助于稳定性证明。通过测试函数的紧支撑性质，克服了模型等价形式两侧积分域不匹配带来的挑战。对于任意时刻 $t^{*}\in[0,T]$，首先利用Riesz表示定理在整个空间 $\mathbb{R}^d$ 上构造了一个取值于Banach空间 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 的抽象函数 $\mathcal{U}(\lambda)$。随后，通过乘以特征函数，将该函数适当地限制到含时有界域 $\widetilde{\Omega}(t)$ 上。然后严格证明了该模型的解在 $L^{1}([0,T],L^2(\widetilde{\Omega}(t)))$ 中的存在性。此外，通过审慎选择测试函数 $\Psi$，证明了积分不变模型的稳定性，并由此自然导出唯一性。最后，当初始值 $\widetilde{U}_0 \in L^{2}(\widetilde{\Omega}(0))$ 时，模型在 $[0,T]$ 上的时间可积性可提升至 $L^{\infty}([0,T],L^2(\widetilde{\Omega}(t)))$。