关于巴蒂尼克静止延拓问题在史瓦西球附近的局部良好可解性

我们研究了巴蒂尼克静止延拓猜想，这一猜想源于对一般初始数据集中紧凑区域的时空巴蒂尼克质量定义。该猜想认为，在初始数据集中满足支配能量条件的情况下，存在唯一一个（同等距）包含给定初始数据集 $(M, \mathfrak{g}, \Pi)$ 的渐近平坦静止真空时空，该时空在 $\partial M$ 上实现规定的巴蒂尼克边界数据，包括诱导度量、均值曲率以及适当的时空外曲率 $\Pi$ 组件。基于 arXiv:2411.02801 中为静止情形所建立的分析框架，我们表明，在双测地坐标系中，静止真空爱因斯坦方程组化简为由椭圆方程和输运型方程组成的耦合系统，真正的静止贡献编码在关于 $1$ 形式 $\theta$ 的额外边界值问题中。我们在巴蒂尼克数据足够接近任何初始数据集（可能非时对称）中任意坐标球的情形下，建立了巴蒂尼克静止度量延拓问题的局部良好可解性。这包括接近初始数据集中任何卡尔曼球（甚至接近显著边界）的球。我们框架的关键特征是线性化方程解耦：关于度量和势的方程归化为先前求解的静止情形，而关于 $\theta$ 的边界值问题独立处理。我们在 arXiv:2411.02801 中开发的适用于耦合系统的博赫可测函数空间中证明了该边界值问题的可解性，建立了 $\theta$ 的向量球谐分解的均匀估计。