渐近平坦度量扩张的Hilbert流形

在[Comm. Anal. Geom., 13(5):845-885, 2005.]中，Bartnik描述了爱因斯坦方程的相空间，基于局部正则性$(g,\pi)\in H^2\times H^1$的加权Sobolev空间建模。特别地，确立了约束解的空间构成该相空间的Hilbert子流形。这项工作的动机是研究现在以他命名的拟局域质量泛函。然而，那里考虑的相空间是在无边界流形上的。此处我们证明当流形具有内部紧致边界时类似结果成立，其中对度量施加Dirichlet边界条件。然后，仍遵循Bartnik的工作，我们证明在此扩展空间上质量泛函的临界点对应于静止解。此外，如果该解足够正则，则它实际上是静态黑洞解。特别地，在真空情形下，临界点仅出现在外部Schwarzschild解处；即，该空间上质量的临界点并非一般存在。最后，我们简要讨论边界数据为Bartnik几何数据的情况。