质量、容度函数与质量-容度比

我们研究了 ADM 质量、在无穷远处趋于零的正调和函数，以及具有非负数量曲率的渐近平坦 $3$-流形边界的容度之间的联系。首先，我们给出通过调和函数探测 ADM 质量的新公式。接着，若底流形具有简单拓扑，我们导出了一族单调量与几何不等式。作为一个直接应用，我们给出了 $3$ 维黎曼正质量定理的几种额外证明。其中一种证明通过对分隔边界与 $\infty$ 的区域的 $C^0$-几何，得到了蕴含质量为正的新充分条件。此类充分条件的一个特例表明，若包围边界的区域具有相对较小的体积，则质量为正。作为进一步应用，我们得到了质量-容度比的积分恒等式。我们还将不等式提升到在旋转对称球外的空间 Schwarzschild 流形上取等号。特别地，我们证明质量-容度比总以下界为 $1$ 减去边界的归一化 Willmore 泛函的平方根。受我们的发现启发，我们研究了一类满足质量-容度比约束的流形。我们指出此类流形满足改进的不等式，其质量具有仅依赖于边界数据的上界，不存在包围边界的闭极小曲面，并且这些流形包含 Bartnik 准局域质量意义下的静态延拓。