低正则性 Riemann 度量的正质量定理

我们证明了对于维度小于或等于 $7$ 的流形或任意维度的旋量流形，正质量定理对位于 Sobolev 空间 $W^{2, n/2}_{loc}$ 中的连续 Riemann 度量成立。更一般地，对于标量曲率非负性不成立的度量，若其负部具有紧支集且 $L^{n/2}$ 范数充分小，我们给出了 ADM 质量的一个（负）下界。我们表明，对于某个 $p > \frac{n}{2}$，位于 $W^{2, p}_{loc}$ 中且在分布意义下具有非负标量曲率的 Riemann 度量，可以在局部一致地被具有非负标量曲率的光滑度量所逼近。对于 $W^{2, n/2}_{loc}$ 中的连续度量，存在具有非负标量曲率的光滑逼近度量，它们对所有 $p < \infty$ 在 $L^p_{loc}$ 中收敛。