具有分布曲率的流形的正质量定理

我们表述并证明了针对 $n$ 维自旋流形的正质量定理，其度规仅具有 Sobolev 正则性 $C^0 \cap W^{1,n}$。在此正则性水平下，度规的曲率仅在分布意义下有定义，我们在此为这类度规提出了一个（广义的）ADM 质量概念。我们的主要定理表明，如果流形是渐近平坦的且具有非负标量曲率分布，则其（广义）ADM 质量是良定义的且非负，并且仅当流形等距于欧几里得空间时为零。Lee 和 Parker 以及 Bartnik 此前应用 Witten 旋量方法时需要强得多的 $W^{2,2}$ 正则性。我们的证明是对 Witten 论证的推广，其中我们必须在分布意义下处理 Dirac 算子及其相关的 Lichnerowicz-Weitzenbock 恒等式，并应对趋于无穷远的环面上度规一阶导数的某些平均值。最后，我们指出我们的论证并不特定于标量曲率，还使我们能够建立一个普遍的正质量定理。