极小超曲面与具有非负数量曲率的紧流形的边界行为
微分几何
2017-05-23 v2 广义相对论与量子宇宙学
摘要
在具有正平均曲率的带边紧黎曼流形上，Shi和Tam的一个基本结果指出：如果该流形具有非负数量曲率，且其边界等距同构于欧氏空间中的一个严格凸超曲面，那么该边界的总平均曲率不大于相应欧氏超曲面的总平均曲率。在三维情形下，Shi-Tam的结果已知等价于黎曼正质量定理。本文通过纳入极小超曲面对边界的影响，为Shi-Tam的结果提供了一个补充。更确切地说，给定一个具有非负数量曲率的紧流形Ω，假设其边界由两部分Σ_h和Σ_o组成，其中Σ_h是Ω中所有闭合极小超曲面的并集，而Σ_o等距同构于一个正质量m的空间史瓦西流形中合适的2-凸超曲面Σ，我们建立了一个联系m、Σ_h的面积以及Σ_o和Σ的两个加权总平均曲率的不等式。在三维情形下，该不等式对等距嵌入和准局部质量问题均有启示。在相对论背景下，我们的结果可解释为Σ_o的一个准局部质量型量大于或等于Σ_h的霍金质量。我们进一步分析了与将渐近平坦3-流形M的大坐标球面适当等距嵌入到空间史瓦西流形中相关联的此类准局部质量型量的极限。我们证明该极限等于M的ADM质量。由此得出，我们在紧流形Ω上的结果等价于黎曼彭罗斯不等式。
引用
@article{arxiv.1703.08164,
title = {Minimal hypersurfaces and boundary behavior of compact manifolds with nonnegative scalar curvature},
author = {Siyuan Lu and Pengzi Miao},
journal= {arXiv preprint arXiv:1703.08164},
year = {2017}
}
备注
Introduction revised, references updated, 43 pages