Hawking 质量的若干刚性结果及 Bartnik 容量的一个下界

我们证明涉及 Hawking 质量的刚性结果，针对浸入于具有非负数量曲率（相应地，数量曲率以 $-6$ 为下界）的三维完备黎曼流形 $(M,g)$ 中的曲面。粗略地，主要结果陈述为：若开子集 $\Omega\subset M$ 满足每点有一个邻域 $U\subset \Omega$，使得含于 $U$ 中曲面的 Hawking 质量上确界非正，则 $\Omega$ 局部等距于欧氏 ${\mathbb R}^3$（相应地，局部等距于双曲 3-空间 ${\mathbb H}^3$）。在流形 $(M,g)$ 上的温和渐近条件下（作为特例包含标准的“渐近平坦”或相应地“渐近双曲”假设），前述拟局部刚性陈述推出一个\emph{全局刚性}：若 $M$ 中每点有一个邻域 $U$ 使得含于 $U$ 中曲面的 Hawking 质量上确界非正，则 $(M,g)$ 全局等距于欧氏 ${\mathbb R}^3$（相应地，全局等距于双曲 3-空间 ${\mathbb H}^3$）。此外，若空间非平坦（相应地，非常数截面曲率 $-1$），该方法给出合适球面曲面的 Hawking 质量一个微小然而显式且严格为正的下界。我们推得开集（非局部等距于欧氏 ${\mathbb R}^{3}$）的 Bartnik 质量一个微小然而显式且严格为正的下界，以曲率张量表示。受这些结果启发，在附录中我们提出一种满足拟局部质量某些自然性质的“上确界 Hawking 质量”概念。