具有严格凸边界的紧致三维流形中自由边界曲面的刚性

本文针对具有非负 Ricci 曲率及严格凸边界 $\partial M$ 的紧致流形 $M^3$，得到了三维情形下 Toponogov 定理的类似结果。在假设 $\Sigma$ 指数为 1 的条件下，我们依据 $\Sigma$ 的亏格以及 $\partial\Sigma$ 的连通分支个数，给出了 $M^3$ 中自由边界极小曲面 $\Sigma^2$ 的边界 $\partial\Sigma$ 的长度 $L(\partial\Sigma)$ 的尖锐上界。随后，在对沿 $\partial M$ 的 $M$ 的几何施加自然假设下，我们证明若 $L(\partial\Sigma)$ 达到相应上界，则 $M^3$ 等距于欧氏三维球，且 $\Sigma^2$ 等距于欧氏圆盘。特别地，当 $M^3$ 是 $\mathbb R^3$ 中的严格凸体时，我们得到了 $\Sigma$ 面积的尖锐上界，该上界仅能在欧氏三维球（通过欧氏圆盘）上被取到。我们也考虑了平稳稳定曲面的类似结果。