欧几里得球中具有自由边界的稳定常平均曲率超曲面

本文指出，若 $B$ 是 $n$ 维（$n\geq3$）欧几里得空间中的一个球，则 $B$ 中具有自由边界的稳定常平均曲率（CMC）超曲面 $\Sigma$ 满足 $$nA\leq L\leq nA\left( \frac{1+\sqrt{1+4(n+1)H^2}}{2} \right)\,,$$ 其中 $L$、$A$ 和 $H$ 分别表示 $\partial \Sigma$ 的长度、$\Sigma$ 的面积以及 $\Sigma$ 的平均曲率。由此，若边界 $\partial \Sigma$ 是嵌入的，则 $\Sigma$ 必定是全测地的或关于球心呈星形。这一结果是对 A. Ros 与 E. Vergasta \cite{R-V} 所证明定理的改进。特别地，当 $n=3$ 时，$B$ 中具有自由边界的稳定 CMC 曲面仅有全测地圆盘或球冠。后一结果最近由 I. Nunes \cite{N} 利用扩展稳定性结果和修正的 Hersch 型平衡论证以更好地控制亏格而证明。我们未使用该修正的 Hersch 型论证，而是运用了 Nunes 型稳定性引理以及 A. Ros 与 E. Vergasta 的一个关键结果。