具有凸边界的非正曲率流形的刚性

我们证明，一个紧致黎曼 $3$-流形 $M$，若具有严格凸的单连通边界且截面曲率 $K\leq a\leq 0$，则只要 $K\equiv a$ 在切于 $M$ 边界的平面上成立，$M$ 必等距于常曲率 $a$ 的完备单连通空间中的凸域。这给出了 Cartan-Hadamard $3$-流形中具极小全曲率的严格凸曲面的一个刻画，并推广了 Greene-Wu、Gromov 以及 Schroeder-Strake 的若干刚性结果。我们的证明基于最近的一个黎曼超曲面全曲率的比较公式，该公式也给出了关于 $K\geq a\geq 0$ 的一些对偶结果。