$3$ 维弱凸域的数量曲率比较与刚性

对于一个具有平均凸边界且微分同胚于 $\mathbb{R}^{3}$ 中弱凸紧致区域的紧致黎曼 $3$ 维流形 $(M^{3}, g)$，我们证明如果数量曲率非负且缩放平均曲率比较 $H^{2}g \ge H_{0}^{2} g_{Eucl}$ 成立，则 $(M,g)$ 是平坦的。我们的结果是 Gromov 二面角刚性猜想的光滑类比，也是 $\mathbb R^3$ 中弱凸球体极值结果的有效版本。更一般地，我们证明了几类带角流形的比较与刚性定理。我们的证明使用了具有指定接触角的毛细管极小曲面以及具有非负平均曲率和指定接触角的叶状结构的构造。