旋转对称集的标量曲率比较

设 $(M, g)$ 为具有非负标量曲率 $R_g\geq 0$ 的紧致 3-流形。边界 $\partial M$ 与 $\mathbb{R}^3$ 中一个旋转对称且弱凸的体 $\bar{M}$ 的边界微分同胚。我们称 $(\bar{M}, \delta)$ 为一个模型或参考。令 $H_{\partial M}$ 和 $\bar{H}_{\partial M}$ 分别为 $\partial M$ 在 $(M, g)$ 中的平均曲率与 $\partial M$ 在 $(\bar{M}, \delta)$ 中的平均曲率，$\sigma$ 和 $\bar{\sigma}$ 为分别由 $g$ 和 $\delta$ 诱导的度量。我们证明对于某些类别的 $\partial M$，若 $H_{\partial M} \geq \bar{H}_{\partial M}$、$\sigma \geq \bar{\sigma}$ 且 $\partial M$ 非光滑部分的二面角不大于模型，则 $M$ 是平坦的。我们还将此结果推广到双曲情形以及某些具有 $\mathbb{S}^1$-对称的空间。我们的方法受 Gromov 启发。