流形弱极限下的标量曲率

我们证明在光滑三维流形向光滑极限的某些弱收敛下，标量曲率下界得以保持。更确切地，若$M_k$与$M$为光滑闭式黎曼三维流形，若存在光滑满射$\lambda_k$-Lipschitz映射$f_k\colon M_k \to M$，且$\text{Vol}(M_k)\to\text{Vol}(M)$且$\lambda_k\to 1$，则若每个$M_k$的标量曲率均下界为$\kappa$，则$M$亦如此。该结果回答了Gromov、Sormani、Allen等人的疑问。该证明依赖于对$M_k$中$\mu$-气泡与$M$中$\mu$-气泡之间的精细比较。