具有非负标量曲率的完备三维流形的结构

本文我们将证明以下结果：设 $\mathcal{N}$ 是一个完备（非紧）连通可定向黎曼三维流形，具有非负标量曲率 $S \geq 0$ 和有界截面曲率 $K_{s} \leq K$。假设 $\Sigma \subset \mathcal{N}$ 是一个完备可定向连通的面积最小化圆柱面，使得 $\pi_1 (\Sigma) \in \pi_1 (\mathcal{N})$。那么 $\mathcal{N}$ 局部等距于 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{R}^2$ 或 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1 \times \mathbb{R}$（配备标准乘积度量）。作为一个推论，我们将得到：设 $\mathcal{N}$ 是一个完备（非紧）连通可定向黎曼三维流形，具有非负标量曲率 $S \geq 0$ 和有界截面曲率 $K_{s} \leq K$。假设 $\pi_1 (\mathcal{N})$ 包含一个子群，该子群同构于一个正亏格的紧曲面的基本群。那么 $\mathcal{N}$ 局部等距于 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1 \times \mathbb{R}$（配备标准乘积度量）。