具有正数量曲率的完备流形上的 Llarull 型定理

在本文中，在不假设流形为自旋的条件下，我们证明：若一紧致、可定向且连通的黎曼流形 $(M^{n},g)$ 满足数量曲率 $R_{g}\geq 6$，且存在一个非零度、1-Lipschitz 映射到 $(\mathbb{S}^{3}\times \mathbb{T}^{n-3},g_{\mathbb{S}^{3}}+g_{\mathbb{T}^{n-3}})$（其中 $4\leq n\leq 7$），则 $(M^{n},g)$ 局部等距于 $\mathbb{S}^{3}\times\mathbb{T}^{n-3}$。针对非紧情形，以 $(\mathbb{S}^{3}\times \mathbb{R}^{n-3},g_{\mathbb{S}^{3}}+g_{\mathbb{R}^{n-3}})$ 为模型空间，我们建立了类似结果（见定理 \ref{noncompactrigidity1}、定理 \ref{noncompactrigidity2}、定理 \ref{noncompactrigidity3}、定理 \ref{noncompactrigidity4}）。我们观察到，当 $n=4$ 时结果与 $n\geq 5$ 时有显著差异。我们的结果意味着标准 $\mathbb{S}^3$ 的 $\epsilon$-间隙长度极值性在分别与 $\mathbb{R}^m$（$1\leq m\leq 4$）作黎曼积下是稳定的（见 Gromov 论文 \cite{Gromov2017} 第153页的 $D_{3}$ 问题）。