具有调和曲率的完备流形的某些$L^p$刚性结果

设$(M^n, g)(n\geq3)$为一个具有调和曲率和正Yamabe常数的$n$维完备黎曼流形。分别用$R$和$\mathring{Rm}$表示$M$的数量曲率和无迹黎曼曲率张量。本文的主要结果表明，若对于$p\geq \frac n2$，$\mathring{Rm}$的$L^{p}$范数有限，则$\mathring{Rm}$在无穷远处一致趋于零。此外，若$R$为正，则$(M^n, g)$是紧的。作为应用，我们证明若对于$p\geq \frac n2$，$R$为正且$\mathring{Rm}$的$L^{p}$范数被挤压在$[0,C_1)$内，其中$C_1$是仅依赖于$n, p$、$R$和Yamabe常数的显式正常数，则$(M^n, g)$等距于球面空间形式。特别地，我们证明了对于具有常负数量曲率的完备、单连通、局部共形平坦黎曼$n(n\geq 6)$流形的一个$\mathring{Ric}$的$L^{p}(\frac n2\leq p<\frac{n-2}{2}(1+\sqrt{1-\frac4n}))$范数挤压定理。我们给出了具有常正数量曲率的紧局部共形平坦黎曼$n$流形的无迹Ricci曲率张量的隔离定理，改进了E. Hebey和M. Vaugon \cite{{HV}}的定理1.1和推论1。该结果是最优的，且我们能精确刻画等号成立的情形。