关于正标量曲率紧流形的分层

对于紧 PSC Riemann $n$-流形 $(M,g)$，度量常数 $\mathrm {Riem}(g)\in (0, \binom{n}{2}]$ 定义为 $g$ 的谱标量曲率 $\frac{\sum_{i=1}^N\lambda_i}{\lambda_{\rm max}}$ 在 $M$ 上的下确界，其中 $\lambda_1, ...,\lambda_N$ 是 $g$ 的曲率算子的特征值，$\lambda_{\rm max}$ 是最大特征值。泛函 $g\to \mathrm {Riem}(g)$ 是连续的、尺度变换不变的，并定义了 $M$ 上 PSC 度量空间的分层。我们还引入了光滑常数 $\mathbf {Riem}(M)\in (0, \binom{n}{2}]$，它是 $M$ 上所有 psc Riemann 度量 $g$ 集合上 $\mathrm {Riem}(g)$ 的上确界。在本文中，我们证明了在顶层中，$\mathbf{Riem}=\binom{n}{2}$ 的紧流形是正空间形式。没有流形的 $\mathbf{Riem}$ 落在区间 $(\binom{n}{2}-2, \binom{n}{2})$ 内。流形 $S^{n-1}\times S^1$ 及其与正空间形式的连通和的任意连通和都有 $\mathbf{Riem}=\binom{n-1}{2}$。对于 $1\leq p\leq n-2\leq 5$，我们证明了流形 $S^{n-p}\times T^p$ 取中间值 $\mathbf {Riem}=\binom{n-p}{2}$。从底层来看，我们证明了维数 $\geq 5$（分别 $\geq 7$、$\geq 9$）的单连通（分别 $2$-连通、$3$-连通且非弦）紧流形具有 $\mathbf{Riem}\geq 1$（分别 $\geq 3$、$\geq 6$）。最后这三个结果的证明基于配边手术。事实上，我们证明了在具有适当余维数的流形上进行手术后，光滑 $\mathbf{Riem}$ 常数不会减小。