$\mathbb{M}^2\times \mathbb{R}$ 中的完备常平均曲率曲面与Bernstein型定理

本文研究乘积空间 $\mathbb{M}^2\times \mathbb{R}$ 中的常平均曲率曲面 $\Sigma$，其中 $\mathbb{M}^2$ 是完备黎曼流形。我们假设角度函数 $\nu = \meta{N}{\partial_t}$ 在 $\Sigma$ 上不变号。根据 $\Sigma$ 投影的高斯曲率的下确界 $c(\Sigma)$ 对这些曲面进行分类。当 $H \neq 0$ 且 $c(\Sigma)\geq 0$ 时，$\Sigma$ 是曲率为 $2H$ 的完备曲线上的柱面。若 H=0 且 $c(\Sigma) \geq 0$，则 $\Sigma$ 必须是竖直平面，或 $\Sigma$ 是切片 $\mathbb{M}^2 \times {t}$，或 $\mathbb{M}^2 \equiv \mathbb{R}^2$ 具有平坦度量且 $\Sigma$ 是倾斜平面（可能在经过覆盖空间后）。当 $c(\Sigma)<0$ 且 $H>\sqrt{-c(\Sigma)} /2$ 时，$\Sigma$ 是 $\mathbb{M}^2$ 中具有常测地曲率 $2H$ 的完备曲线上的竖直柱面。该结果是最优的。我们还证明了当 $c(\mathbb{M}^2)<0$ 时，$\mathbb{M}^2\times \mathbb{R}$ 中完备多图的一个不存在性结果。