M×R 中具有常高阶平均曲率的超曲面

我们考虑乘积流形 $M\times\mathbb R$ 中具有常数第 $r$ 平均曲率 $H_r\ge 0$ 的超曲面（称为 $H_r$-超曲面），其中 $M$ 是任意黎曼 $n$-流形。我们发展了一种构造此类超曲面的通用方法，并用它为多种流形 $M$（包括所有单连通空间形式和双曲空间 $\mathbb{H}_{\mathbb F}^m$（非紧型秩 $1$ 对称空间））构造了许多例子。我们还构造并分类了 $\mathbb{H}_{\mathbb F}^m\times\mathbb R$ 与 $\mathbb S^n\times\mathbb R$ 中的完备旋转 $H_r(\ge 0)$-超曲面。它们包括球面、Delaunay 型环面，以及在 $\mathbb{H}_{\mathbb F}^m\times\mathbb R$ 情形下的整体图。我们还构造并分类了 $\mathbb{H}_{\mathbb F}^m\times\mathbb R$ 中分别由抛物等距或双曲平移保持不变的完备 $H_r(\ge 0)$-超曲面。我们证明了 Jellett-Liebmann 型定理：即 $\mathbb H^n\times\mathbb R$ 或 $\mathbb S^n\times\mathbb R$ $(n\ge 3)$ 中紧致、连通且严格凸的 $H_r$-超曲面是旋转嵌入球面。我们还得到了这些外围空间中完备 $H_r$-超曲面的其他唯一性结果。