极小曲面与 $\mathbb{R}^{3}$ 中 $H$-曲面的随机半空间定理

我们证明了在 $\mathbb{R}^{3}$ 的回归极小曲面类与有界曲率的完备极小曲面类之间的强半空间定理的一个版本。我们还证明了，若 $M$ 是一个完备的、回归的 $n$ 维黎曼流形，满足 $\text{Ric}_M \geq 0$ 且其截面曲率有上界，则任何在 $M\times \R_+$ 中浸入且有界曲率的极小超曲面必等于某个 $M\times \{s\}$。对于 $H$-曲面，我们证明：若 $\sup \vert H_{_M}\vert < H$，则随机完备曲面 $M$ 不可能位于嵌入于 $\R^3$ 中且有界曲率的 $H$-曲面 $N$ 的平均凸侧；或者当 $\sup \vert H_{_M}\vert = H$ 时，有 ${\rm dist}(M,N)=0$。最后，在假设 $M$ 具有非空边界的条件下，我们给出了一个无穷远处的极大值原理。