乘积空间中超曲面的嵌入性、凸性与刚性

我们建立了如下 Hadamard--Stoker 型定理:设 $f:M^n\rightarrow\mathscr{H}^n\times\mathbb R$ 为具有正定第二基本形式的完备连通超曲面,其中 $\mathscr H^n$ 为 Hadamard 流形。若 $f$ 的高度函数有临界点,则它是嵌入且 $M$ 同胚于 $\mathbb S^n$ 或 $\mathbb R^n$。进而,$f(M)$ 在 $\mathscr{H}^n\times\mathbb R$ 中界定一个凸集。此外,我们证明除凸性假设外,该结果对 $\mathbb S^n\times\mathbb R$ 中的超曲面同样成立。我们应用这些定理证明:若 $\mathbb Q_\epsilon^n\times\mathbb R$ ($\epsilon=\pm 1$) 中的紧致连通超曲面具有常平均曲率与正定第二基本形式,或常截面曲率大于 $(\epsilon +1)/2$,则其为旋转球面。我们还证明:对 $\bar M=\mathscr H^n$ 或 $\mathbb S^n$,任意具有半正定第二基本形式且高度函数无临界点的连通真超曲面 $f:M^n\rightarrow\bar M^n \times\mathbb R$ 是嵌入的且等距于 $\Sigma^{n-1}\times\mathbb R$,其中 $\Sigma^{n-1}\subset\bar M^n$ 为凸的且同胚于 $\mathbb S^{n-1}$(对 $\bar M^n=\mathscr H^n$ 我们进一步假设 $f$ 为柱有界的)。我们得到了翘曲乘积空间 $\mathbb R\times_\rho\mathscr H^n$ 与 $\mathbb R\times_\rho\mathbb S^n$ 中超曲面的类似定理。在所有这些结果中,流形 $M^n$ 的维数均假设为 $n\ge 3$。