扭曲乘积空间的爱因斯坦超曲面

我们考虑扭曲乘积$I\times_\omega\mathbb Q_\epsilon^n$的爱因斯坦超曲面,其中$I\subset\mathbb R$为开区间,$\mathbb Q_\epsilon^n$为维数$n\ge 2$、常截面曲率$\epsilon\in\{-1,0,1\}$的单连通空间形式。我们证明,对所有$c\in\mathbb R$(相应地对$c>0$),只要$\omega$非常数,在$I\times_\omega\mathbb H^n$和$I\times_\omega\mathbb R^n$(相应地在$I\times_\omega\mathbb S^n$)中存在常截面曲率$c$的旋转超曲面。我们还证明,$I\times_\omega\mathbb Q_\epsilon^n$的任意爱因斯坦超曲面的高函数梯度$T$(若非零)是其主方向之一。进而,我们考虑$I\times_\omega\mathbb Q_\epsilon^n$的一类具有非零$T$的特殊爱因斯坦超曲面——称之为理想超曲面——并证明此类超曲面$\Sigma$处处恰有两个或恰有三个相异主曲率。我们证明,在后一种情况下,对某些扭曲函数$\omega$存在这样的$\Sigma$;而在前一种情况下,无论扭曲函数$\omega$如何,$\Sigma$必为常截面曲率的旋转超曲面。我们还刻画了$I\times_\omega\mathbb Q_\epsilon^n$中角度函数不消失的理想爱因斯坦超曲面作为$\mathbb Q_\epsilon^n$中等参超曲面族上的局部图。