时空一类嵌入超曲面上的共形几何

本工作中，我们研究具有优选空间方向$e^{\mu}$的$1+1+2$分解时空中嵌入超曲面的各种性质，该超曲面与时空的流体流动速度正交并容许适当的共形变换。为确保诱导度量的正标量曲率非零，我们施加共形度量的标量曲率非负且关联共形因子满足$\hat{\varphi}^2+2\hat{\hat{\varphi}}>0$，其中$\hat{\ast}$表示沿$e^{\mu}$的导数。首先，证明此类超曲面或为爱因斯坦的或其上扭曲消失，且诱导度量的标量曲率为常数。进而证明若超曲面为紧致爱因斯坦的且容许适当共形变换，则超曲面必同构于$3$-球面，此处我们利用了关于容许共形变换黎曼流形的熟知结果。若超曲面非爱因斯坦且具处处非零的层展开，我们表明该结论不成立。然而，在附加诱导度量与共形度量的标量曲率一致、关联共形因子严格为负且共形因子的三阶及更高阶导数消失的条件下，结论成立。此外，在共形于诱导度量的度量的标量曲率亦为常数的条件下得到附加结果。最后，我们在局部旋转对称时空背景下考量部分结果，表明若超曲面紧致且非爱因斯坦型，则在给定条件下超曲面同构于$3$-球面，其中我们构造了沿$e^{\mu}$的显式适当共形Killing向量场。