通过边界 Loewner-Nirenberg-Yamabe 问题的共形超曲面几何

我们通过将嵌入超曲面视为共形紧流形的共形无穷远，提出了一种研究嵌入超曲面共形几何的新方法。这涉及 Loewner–Nirenberg 型问题，即在内部寻找一个既共形紧又具有常数量曲率的度量。我们的首个结果是全阶渐近解。其中包含对数项。我们证明这些对数项中第一项的系数是一个新的超曲面共形不变量，它将嵌入曲面的重要 Willmore 不变量推广到更高维。我们称之为阻碍密度。对于偶维超曲面，它是一个基本曲率不变量。我们明确了后一概念，并证明阻碍密度与无迹第二基本形式在适当意义下是仅有的此类不变量。我们还证明这一对光滑性的阻碍是 Poincare-Einstein 度量的 Fefferman-Graham 阻碍张量的标量密度类比；这部分通过利用 Bernstein-Gelfand-Gelfand 机制实现。常数量曲率问题的解给出了一个光滑超曲面定义密度，它由嵌入典范地确定至阻碍阶。我们给出两个关键应用：构造共形超曲面不变量与构造共形微分算子。特别地，我们提出一族由共形嵌入典范地确定的拉普拉斯算子的共形幂。一般而言，这些算子在嵌入上有非平凡依赖，并且与偶维超曲面内在固有的 Graham-Jennes-Mason-Sparling 算子不同，它们存在于所有阶。这些外在共形拉普拉斯幂确定了阻碍密度的显式全息公式。