完全非线性版 Loewner-Nirenberg 问题的存在性与唯一性

我们考虑在维数 $n \geq 3$ 的给定欧几里得域 $\Omega$ 上寻找一个完备共形平坦度量，其 Schouten 曲率 $A$ 满足形如 $f(\lambda(-A)) = 1$ 的方程。这推广了 Loewner 和 Nirenberg 针对数量曲率考虑的问题。当边界 $\partial\Omega$ 为光滑有界超曲面（余维数为一）时，我们证明了此类度量的存在性与唯一性。当 $\partial\Omega$ 包含余维数更高的紧光滑子流形 $\Sigma$ 且 $\partial\Omega\setminus\Sigma$ 为紧时，我们还给出了共形因子在 $\Sigma$ 附近发散到无穷大的一个“尖锐”条件，该条件用余维数表示。