$\sigma_k$-Loewner-Nirenberg 问题粘性解的正则性

我们研究有界光滑区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 上 $k \geq 2$ 时 $\sigma_k$-Loewner-Nirenberg 问题的粘性解 $u$ 的正则性。已知 $u$ 在 $\Omega$ 内局部 Lipschitz。我们证明，令 $d$ 为到 $\partial\Omega$ 的距离函数且 $\delta > 0$ 充分小，则 $u$ 在 $\{0 < d(x) < \delta\}$ 中光滑，且 $d^{\frac{n-2}{2}} u$ 的前 $(n-1)$ 阶导在 $\{0 \leq d(x) < \delta\}$ 中 Hölder 连续。此外，我们确定了一个边界不变量，它是 $\partial\Omega$ 主曲率及其协变导数的多项式，且当且仅当 $d^{\frac{n-2}{2}} u$ 在 $\{0 \leq d(x) < \delta\}$ 中光滑时该不变量为零。利用环境流形的 Schouten 张量与子流形平均曲率之间的关系以及几何测度论的相关工具，我们进一步证明当 $\partial\Omega$ 含有多于一个连通分支时，$u$ 在 $\Omega$ 中不可微。