薛定谔方程的正解与边界点的精细正则性

给定 ${\mathbb R} ^N$ 中的一个 Lipschitz 区域 $\Omega$ 和 $\Omega$ 中的一个非负势 $V$，使得 $V(x)\, d(x,\partial \Omega)^2$ 在 $\Omega$ 中有界，我们研究关于 $\Omega$ 中薛定谔算子 $L_V:= \Delta -V$ 的边界点的精细正则性。利用势论方法，建立了与 $z \in \partial \Omega$ 的精细正则性等价的若干条件。主要结果是一个简单的（若 $\Omega$ 光滑则为显式的）关于 $z$ 为精细正则的 $V$ 大小的充要条件。一个关键的中间结果是对 $\Omega$ 中正调和函数 $u$ 和 $A \subset \Omega$，给出了 $\int_A | {\frac {u} {d(.,\partial \Omega)}} | ^2\, dx$ 的一个优界。还给出了 $\partial \Omega$ 的子集 $A$ 中几乎处处正则性的条件，以及主要结果向精细 ${\mathcal L}_1 | {\mathcal L}_0$-正则性概念的推广，其中 ${\mathcal L}_j={\mathcal L}-V_j$，$V_0,\, V_1$ 是两个势，满足 $V_0 \leq V_1$，且 ${\mathcal L}$ 是一个二阶椭圆算子。