Schr"odinger Riesz 变换在光滑性空间上的性态

正如 Shen 所证，与 Schr\"odinger 算子 $L=-\Delta + V$ 相关的 Riesz 变换，在仅假设势满足 $d\geq3$ 时阶为 $d/2$ 的反向 H\"older 条件的情况下，并非对所有 $p, 1<p<\infty$ 在 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 空间上有界。此外，它们仅对某个形如 $(1,p_0)$ 的有限区间内的 $p$ 有界，因此无法期望其保持正则性空间。本文中我们寻找势的某种极小附加条件，以对所有一阶和二阶 Riesz 变换（即算子 $\nabla L^{-1/2}$、$V^{1/2}L^{-1/2}$、$\nabla^2 L^{-1}$、$VL^{-1}$ 和 $V^{1/2}\nabla L^{-1}$）在适当的加权 $BMO$ 型正则性空间上获得有界性。我们还探讨了此类额外条件在何种程度上也是必要的。