关于带势函数的度量锥上 Riesz 变换的逆不等式

设 $M=(0,\infty)_r\times Y$ 为 $d$ 维（$d\ge 3$）度量锥，度量为 $g=dr^2+r^2h$，其中 $(Y,h)$ 为闭黎曼流形。设 $H=\Delta+V_0/r^2$ 为相关 Schrodinger 算子，$V_0\in C^\infty(Y)$ 满足正性条件 $\Delta_Y+V_0+(d-2)^2/4>0$。首先，我们通过证明 Riesz 变换 $\nabla H^{-1/2}$ 在其 $L^p$ 有界性范围端点的受限弱型估计来补充前面的结果。其次，我们建立了锐利的逆不等式 $\|H^{1/2}f\|_{L^p}\le C\big(\|\nabla f\|_{L^p}+\|f/r\|_{L^p}\big)$，其成立当且仅当\n$$\frac{d}{\min\big((d+4)/2+\mu_0,\,d\big)}< p <<\frac{d}{\max\big((d-2)/2-\mu_0,\,0\big)}.$$