度量锥上齐次薛定谔算子的Riesz变换

我们考虑度量锥上的薛定谔算子，其横截面为闭黎曼流形$(Y, h)$，维数$d-1 \geq 2$。因此锥$M = (0, \infty)_r \times Y$上的度量为$dr^2 + r^2 h$。设$\Delta$为$M$上的Friedrichs拉普拉斯算子，$V_0$为$Y$上的光滑函数，使得$\Delta_Y + V_0 + (d-2)^2/4$是$L^2(Y)$上的严格正算子，其最小特征值为$\mu^2_0$，次小特征值为$\mu^2_1$，其中$\mu_0, \mu_1 > 0$。我们考虑的算子为$H = \Delta + V_0/r^2$，即$M$上具有反平方势的薛定谔算子；注意$H$是-2次齐次的。我们研究Riesz变换$T = \nabla H^{-1/2}$，并确定$T$在$L^p(M)$上有界的精确$p$范围。这通过精确分析算子$(H + 1)^{-1}$并确定其积分核的完整渐近性来实现。我们证明，若$V$不恒为零，则$L^p$有界的$p$范围为$$d/ \Big(\min(1+d/2+\mu_0, d) \Big) < p < d / \Big(\max(d/2-\mu_0, 0) \Big),$$ 而若$V$恒为零，则范围为$$1 < p < d / \Big(\max(d/2-\mu_1, 0) \Big).$$ $V$恒为零情形的结果最早由H.-Q. Li在一篇论文中得到。