与 Schr"{o}dinger 算子相关的 Riesz 变换交换子的 $L^p$ 有界性

本文研究了 $\mathbb{R}^n (n\geq 3)$ 上与 Schr"{o}dinger 算子 $P=-\Delta+V(x)$ 相关的某些 Riesz 变换交换子的 $L^p$ 有界性。假设 $V(x)$ 非零、非负，且对某个 $q \geq n/2$ 属于 $B_q$ 类。令 $T_1=(-\Delta+V)^{-1}V,\ T_2=(-\Delta+V)^{-1/2}V^{1/2}$ 以及 $T_3=(-\Delta+V)^{-1/2}\nabla$。我们证明了当 $p$ 在某一区间内变化且 $b \in \mathbf{BMO}(\mathbb{R}^n)$ 时，$[b,T_j] (j=1,2,3)$ 是 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 上的有界算子。值得注意的是，$T_j (j=1,2,3)$ 的核不具有光滑性。