渐近圆锥流形上 Schrödinger 算子的低能预解式与 Riesz 变换。II

设 $(M^\circ, g)$ 为渐近圆锥流形，其含义是 $M^\circ$ 紧化为带边流形 $M$，使得 $g$ 成为 $M$ 上的散射度量。一个特别令人关注的特殊情形是渐近欧氏流形，其中 $\partial M = S^{n-1}$ 且无穷远处的诱导度量为标准度量。我们研究算子 $P = \Delta_g + V$ 的预解核 $(P + k^2)^{-1}$ 与 Riesz 变换，其中 $\Delta_g$ 是对应于 $g$ 的正 Laplacian 算子，$V$ 是在 $M$ 上光滑且在边界处消失至某有限阶的实数值势函数。在本系列的第一篇论文中，我们假定 $n \geq 3$ 且 $P$ 既没有零模也没有零共振，并证明了：(i) 预解核在 $M^2 \times [0, k_0]$ 的某种爆破版本上是提升至对角处的余法分布且在边界处为多齐次的；(ii) $P$ 的 Riesz 变换在 $L^p(M^\circ)$ 上对有 $1 < p < n$ 有界，且该范围是最优的，除非 $V \equiv 0$ 且 $M^\circ$ 只有一个端。在本文中，我们进行类似的分析，仍假定 $n \geq 3$，但允许零模与零共振存在。我们找出了当存在零模（但无共振，因共振会使 Riesz 变换无定义）时，$P$ 的 Riesz 变换（恰当定义后）在 $L^p(M)$ 上有界的 $p$ 的精确范围。通常 Riesz 变换有界的 $p$ 范围恰为 $(n/(n-2), n/3)$，若零模在无穷远处有额外衰减则可能范围更大。