低能预解式III：谱测度

设$M^\circ$为完备非紧流形，$g$为$M^\circ$上的渐近锥形黎曼度量，即$M^\circ$可紧化为带边流形$M$，使得$g$成为$M$上的散射度量。设$\Delta$为$g$对应的正拉普拉斯算子，$P = \Delta + V$，其中$V$为满足特定条件的势函数。我们分析$P_+^{1/2}$的谱测度$dE(\lambda) = (\lambda/\pi i) \big(R(\lambda+i0) - R(\lambda - i0) \big)$在$\lambda \to 0$时的渐近行为，其中$R(\lambda) = (P - \lambda^2)^{-1}$，分析方法类似于第二作者与Vasy以及前两位作者先前的工作。主要结果是，谱测度在通过爆破若干边界面从$M^2 \times [0, \lambda_0)$得到的空间上具有简单的“余切-勒让德”奇点结构。我们利用这一结果推导波解算子$\cos(t \sqrt{P_+})$和$\sin(t \sqrt{P_+})/\sqrt{P_+}$以及薛定谔传播子$e^{itP}$在$t \to \infty$时的渐近行为。特别地，我们证明了奇数维渐近锥形流形上的Price定律的类比。该谱测度结果已被作者在后续工作(arXiv:1012.3780)中用于证明渐近锥形流形上的尖锐限制定理和谱乘子定理。