奇异黎曼流形上的Weyl定律

我们研究奇异黎曼流形上Laplace-Beltrami算子的特征值渐近增长，其中经典谱渐近中出现的所有几何不变量均无界，且总体积可能无限。在曲率爆破的适当假设下，我们展示了奇异性如何影响Weyl渐近。我们的主要动机来自于构造具有给定非经典Weyl定律的奇异黎曼度量。即，对任意非减缓变函数$\upsilon$，我们构造一个奇异黎曼结构，其谱离散并满足 $$N(\lambda) \sim \frac{\omega_n}{(2\pi)^n} \lambda^{n/2} \upsilon(\lambda).$$ 缓变函数的例子有$\log\lambda$、其迭代$\log_k \lambda = \log_{k-1}\log\lambda$、$\log_k \lambda$的任意正系数有理函数，以及具有非对数增长的函数如$\exp\left((\log \lambda)^{\alpha_1} \dots (\log_k \lambda)^{\alpha_k} \right)$（其中$\alpha_i \in (0,1)$）。我们论证中的一个关键工具是黎曼流形上热迹余项与Weyl函数的一个新的定量估计，这具有独立意义。