完备黎曼流形上 Schrödinger 算子经典 Weyl 定律

我们建立了完备黎曼流形上 Schrödinger 算子 $H=\Delta+V$ 经典（非半经典）Weyl 定律有效性的准则。与现有结果不同，我们的方法不依赖常规几何假设（如有界几何），也不依赖分析假设（如势函数满足 doubling 条件）。相反，我们识别了一个几何-分析不变量 $c_{\delta}(\lambda)$，其编码了流形几何、$V$ 的增长以及 $V$ 振荡尺度之间的精确平衡。该内在量由有效定量估计。我们证明，只要 $\lim_{\lambda\to\infty} c_\delta(\lambda)=0$，Weyl 渐近式成立。通过显式实例表明该准则的尖锐性，显示当准则被违反时，Weyl 定律可能失效。