无共轭点流形上两点 Weyl 定律的余项对数阶改进

本文研究无共轭点的光滑紧致黎曼流形 $M$ 上 Laplace-Beltrami 算子的两点 Weyl 定律。具体而言，我们考察当 $\lambda \to\infty$ 时，从 $L^2(M)$ 到特征值小于 $\lambda^2$ 的特征子空间直和上的投影算子的 Schwartz 核 $E_\lambda(x,y)$ 的渐近行为。在 $x,y$ 限制于 $M\times M$ 中对角线的紧邻域的区域内，我们对 $E_\lambda$ 及其各阶导数的渐近展开余项获得了均匀的对数阶改进，这推广了 B\'erard 处理对角情形 $E_\lambda(x,x)$ 的结果。当 $x,y$ 避开对角线的紧邻域时，我们在 $E_\lambda$ 的上界中也获得了同样的改进。我们的结果表明，单色随机波的重标度协方差核在 $C^\infty$ 拓扑下以反对数速率局部收敛到一个普适的标度极限。