球面子乘积的 Weyl 定律改进

经典的 Weyl 定律指出,若 $N_M(\lambda)$ 表示无边界的 $d$ 维紧流形 $M$ 上 Laplace 算子的特征值中小于或等于 $\lambda$ 的个数,则 $$N_M(\lambda)=c\lambda^d+O(\lambda^{d-1}).$$ 在本文中,我们证明 Duistermaat 和 Guillemin 的结果允许我们在 $M$ 为乘积流形时将误差项 $O(\lambda^{d-1})$ 替换为 $o(\lambda^{d-1})$。我们在球面笛卡尔乘积的情形下量化了该界,方法是将问题归约为欧氏空间中带权整数格点的分布研究,并提出了一般情形下的一个猜想,该猜想令人联想到加性组合学中的和积现象。