关于扭曲积流形上三类 Steklov 特征值问题的谱

设 $M^n=[0,R)\times \mathbb{S}^{n-1}$ 是一个 $n$ 维（$n\geq 2$）光滑黎曼流形，配备扭曲积度量 $g=dr^2+h^2(r)g_{\mathbb{S}^{n-1}}$，且微分同胚于欧氏球。假设 $M$ 具有严格凸边界。首先，对于经典 Steklov 特征值问题，当 $Ric_g\geq 0$（相应地 $\leq 0$）时，我们依据 $h'(R)/h(R)$ 得到其谱的最优下界（相应地上界）。其次，对于 Kuttler 和 Sigillito 在 1968 年研究的两个四阶 Steklov 特征值问题，当 $Ric_g\geq 0$ 时，我们依据 $h'(R)/h^3(R)$ 或 $h'(R)/h(R)$ 导出其谱的下界，该下界对若干情形是最优的；特别地，我们证实了 Q. Wang 和 C. Xia 所提出关于维数 $n=2$ 或 $n\geq 4$ 的扭曲积流形上的一个猜想。在某些证明中我们运用了 Reilly 公式，并揭示了其使用上的一个新特点。