带边界的黎曼流形的共形几何与谱边界

本文研究了黎曼流形边界上 Steklov 型算子光谱的上界。我们将 Fraser-Schoen 关于第一个正 Steklov 本征值估计推广到更高阶的 Steklov 本征值，具体表达式为相对于凸起体积和等面积比。我们的方法借鉴了 Korevaar 的方法，并由 Grigor'yan-Netrusov-Yau 和 Kokarev 进一步发展而来，可推导出欧几里得球上共形 Dirichlet-to-Robin 算子 的 Korevaar 型估计，表明其第 $k$ 个本征值为 $k^{2/n}$ 的倍数，亦可依据相对凸起体积给出相应的上界，适用于proper共形浸入欧几里得球中。我们还在 Steklov 型问题中建立了负特征值个数的下界，依据相对凸起体积，并用于共形 Dirichlet-to-Robin 算子光谱以及类型-II稳态毛细面积超表面的 Morse 指数。