保形度度量的 Steklov 等频谱性

光滑紧致黎曼流形 $(M,g)$ 的 Steklov 谱是其 Dirichlet-to-Neumann 映射特征值的集合（计入重数）。本文致力于从 Steklov 谱恢复度量 $g$（在自然规范变量下）的 Steklov 谱逆问题。在维数 $n\geq 3$ 下，对于保形度度量，在假设边界上引物作用于边界上具有 Anosov 性质且长度谱简单的最简单情况下，建立了积极结果。该论文结合波迹公式技术与闭合 Anosov 流形上函数的引物 X 射线变换的单射性。我们证明，Steklov 谱决定了底层黎曼度量在其保形类中的边界处的喷射。在此特定情境下，这类似于著名的 Caldéron 问题结果，后者给出整个 Dirichlet-to-Neumann 映射。作为一个简单推论，假设保形因子解析，Steklov 等频谱度量必须相同。使用类似论证，我们也能在边界上引物作用具有同 hyperbolicity 假设下，证明一般情况下，任意光滑势 $q$ 可从 Steklov 谱中恢复，即其边界处的喷射由 DN 图谱（具有势 $q$ 的 Schrödinger 算子谱）决定。因此，在这种情况下，两个解析的 Steklov 等频谱势必须相等。