不相交集合上数据各向异性Calderón问题非唯一性背后的隐藏机制

我们证明，当给定区域边界上的狄利克雷和诺伊曼数据在不相交集合上测量时，在固定频率下各向异性Calderón问题通常是非唯一的。更精确地，我们首先证明，给定维数$n\geq 3$的光滑紧连通带边黎曼流形$(M,g)$，在$g$的共形类中存在无穷多个黎曼度量$\tilde{g}$，使得当狄利克雷数据$\Gamma_D$和诺伊曼数据$\Gamma_N$在不相交集合上测量且满足$\overline{\Gamma_D \cup \Gamma_N} \ne \partial M$时，它们在固定频率下对应的DN映射一致。导致这些各向异性Calderón问题非唯一性结果的共形因子满足原流形$(M,g)$上Yamabe类型的非线性椭圆偏微分方程，并且与带不相交集合数据的各向异性Calderón问题的一个自然但微妙的规范不变性（gauge invariance）相关联。然后我们构造了维数$n\geq 3$时在固定频率下带不相交集合数据各向异性Calderón问题非唯一性的一大类反例，且\emph{模此规范不变性}。该类由具有两个端（即边界有两个连通分支）的带边柱形黎曼流形构成，配备适当选择的扭曲积度量（warped product metric）。