关于具有不相交数据的各向异性Calderón问题非唯一性结果的综述

在一般介绍n维带边界紧黎曼流形上各向异性Calderón问题的主要已知结果之后，我们针对文献[5, 6]中获得的某些近期非唯一性结果给出一个有动机的评述，这些结果涉及在维数n $\ge$ 3、且Dirichlet与Neumann数据在边界的不相交子集上测量时，固定频率下的各向异性Calderón问题。这些非唯一性结果具有如下性质：给定一个维数n $\ge$ 3的光滑带边界紧连通黎曼流形(M, g)，我们首先证明在g的共形类中存在无穷多个黎曼度量g，使得当Dirichlet数据$\Gamma$D与Neumann数据$\Gamma$N在不相交集合上测量且满足$\Gamma$D $\cup$ $\Gamma$N = $\partial$M时，它们对应的固定频率Dirichlet-to-Neumann映射重合。相应的共形因子在(M, g)上满足一个Yamabe类型的非线性椭圆偏微分方程，并源于当数据给定于不相交集合时Calderón问题一种自然但微妙的规范不变性。随后我们给出维数n $\ge$ 3时固定频率下具有不相交集合数据的各向异性Calderón问题唯一性反例，其并非源于该规范不变性。它们由具有两个端点的带边界柱形黎曼流形给出，并装备适当选取的翘曲积度量。本综述以关于带角流形情形的若干注记作结。