粗糙边界域上 Laplacian 的 Weyl 渐近公式

我们研究 $\R^n$ 中有界域上 Laplacian 特征值分布的渐近性。我们的主要结果包括：对任意有界域上 Dirichlet Laplacian 的 Weyl 公式给出显式余项估计；以边界光滑性为条件，给出 Neumann Laplacian 在有连续边界域上 Weyl 公式成立的充分条件及该公式中的余项估计。特别地，我们证明 Weyl 公式对 $\Lip_\alpha$ 域上的 Neumann Laplacian 在 $(d-1)/\alpha<d$ 时成立，证明该公式余项为 $O(\lambda^{(d-1)/\alpha})$，并给出一个余项估计 $O(\lambda^{(d-1)/\alpha})$ 为阶精确的例子。我们使用了不依赖于延拓定理的变分技术新版本。