拉普拉斯特征函数公共零点平均数量的估计

在维数为 $n$ 的紧黎曼流形 $M$ 上，我们考虑拉普拉斯算子 $\Delta$ 的 $n$ 个特征函数，其本征值为 $\lambda$。如果 $M$ 在保持度量的紧李群作用下是齐次的，则我们证明 $n$ 个特征函数的公共零点的平均数量不超过 $c(n)\lambda^{n/2}{\rm vol}\,M$，这一表达式源自著名的 Weyl 定律。此外，如果各向同性表示是不可约的，则该估计变为等式。常数 $c(n)$ 被显式给出。证明方法基于球面的 Crofton 公式的应用。