Laplace本征函数的单峰值分布与一单调性公式

设 $M$ 为紧连通Riemann流形，其Riemann体积测度记为 $\sigma$。设 $f: M \rightarrow \mathbb{R}$ 为Laplacian的非常数本征函数。随机波猜想表明，在某些情形下，$f$ 在 $\sigma$ 下的值分布近似为Gaussian。记测度 $\mu$ 为关于 $\sigma$ 密度是 $|\nabla f|^2$ 的测度。我们观察到，$f$ 在 $\mu$ 下的值分布具有在原点取极大值的单峰密度。因此，在某种意义下，本征函数的零集是所有水平集中最大的。当 $M$ 为有边流形时，对满足Dirichlet或Neumann边界条件的Laplace本征函数结论同样成立。此外，本质上通过将调和函数的节点集视为带权极小超曲面，我们证明了实心球谐函数水平集的一个单调性公式。