关于随机球谐函数节点集的分布

我们研究 $\spheredim$ 维球面上拉普拉斯算子特征函数节点集的长度。众所周知，对应于 $\eigval=n(n+\spheredim-1)$ 的特征空间是 $n$ 次球谐函数空间 $\eigspc$，其维数为 $\eigspcdim$。我们利用特征值的重数赋予 $\eigspc$ 高斯概率测度，并研究随机选取函数的节点集 $\spheredim$ 维体积的分布。期望体积与 $\sqrt{\eigval}$ 成正比。我们的主要结果之一是将体积的方差界定为 $O(\frac{\eigval}{\sqrt{\eigspcdim}})$。除了节点集的体积外，我们还研究了其 Leray 测度。对于每个 $n$，Leray 测度的期望值为 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$。我们确定方差的渐近形式为 $\frac{const}{\eigspcdim}$。