ARW 与曲面 nodal 交点的渐近分布

我们研究三维标准平环面上的高斯拉普拉斯本征函数（算术随机波），特别是其与固定正则参考曲面的 nodal 交点长度的渐近分布。期望和方差已由 Maffucci（2019）研究，他发现期望长度与本征值的平方根乘以曲面面积成正比，而渐近方差仅依赖于曲面的几何形状，在高能极限下投影格点在二维单位球面上等分布。他还注意到存在所谓的静态“特殊”曲面，其方差具有更小的阶；但他未给出此情形下的精确渐近律。在本文中，我们研究 nodal 交点长度的二阶涨落。我们的第一个主要结果是对“一般”曲面的中心极限定理，而对于静态曲面（例如球面或半球面），我们的主要结果是一个非中心极限定理以及在存在所谓良分离拉普拉斯本征值序列条件下 nodal 交点长度方差的精确渐近律。结果表明，在此情形下，由 Cammarota（2019）研究的 nodal 面积与任意球面上的 nodal 交点长度渐近完全相关。我们证明的主要工具是矩的 Kac-Rice 公式、高斯场平方可积泛函的混沌分解，以及一些可能具有独立意义的算术估计。